1. Същност

   а) цел - поставянето на важен морален, житейски, граждански или естетически проблем

   б) лична позиция - проблемът се разглежда от специфичната лична позиция на автора, която служи като негова основна теза

   в) аргументация - в логическа последователност авторът на есето дава своите аргументи в защита на тезата си

   г) решение на проблема - от дадените аргументи се прави извод, който служи за решение на разглеждания проблем

2. Структура

   а) въведение

   • поставя темата на есето
   • привлича вниманието на читателя, като го убеждава, че проблемът е важен за него

   б) теза

   • предлага възможното решение на проблема
   • съдържа основното твърдение на автора

   в) аргументация

   • представя аргументи в полза на тезата
   • позовава се на ключови моменти, епизоди и образи от разглежданото произведение
   • разпрострира се и върху други литературни примери или области от живота
   • примерите засилват аргументите

   г) заключение

   • оформя се цялостен извод от аргументацията
   • обвързват се разглежданият проблем и светът, в който живеем

1. Цел - да се разбере как определен житейски, морален, граждански или естетически проблем е разработен в едно или няколко художествени произведения

2. Структура

   а) въведение

   • разполага автора на художествения текст и творчеството му в съответния литературно-исторически контекст
   • прави преход към конкретния проблем, зададен от заглавието

   б) теза - формулира основната идея за това как творбата разработва съответния проблем

   в) аргументация

   • аргументите се базират само на съответния текст, но не и на други аспекти от живота
   • представят се епизодите и персонажите от текста, които най-силни подчертават тезата
   • хубаво е да бъде упоменат и историческия контекст на творбата

   г) заключение - прави се извод от изложените аргументи, който да препотвърди тезата

3. Изразни средства - използва се по-сдържан език, придържащ се повече към литературната терминология, за да се избегнат двусмислия

1. Обособени части

   а) отделящи се със запетая

   • разбира се
   • напротив
   • да речем
   • първо, второ, трето
   • от една страна, от друга страна

   б) неотделящо се със запетая

   • според мен, обаче например,може би, навярно, вероятно, като че ли, сякаш, всъщност, впрочем, в крайна сметка
   • няма запетая между едносричен съюз и обосебена част

алегория – запечатване на абстрактни, умозрителни идеи в конкретни, предметни образи

Пример: Скелет с коса в ръцете е алегория на смъртта; Лисицата в басните е алегория на хитростта и лукавството.

алитерация – наслагване на един и същ съгласен звук или група съгласни звукове

Пример:

„рани разяждат ранени сърца“

„гарванът грачи грозно, зловещо...“

алюзия – загатване за събитие, творба, герой или митологичен образ, за които се предполага, че са добре известни на читателя

Пример:

"...там цъфти Ханаан От Правдата обетован ..."(„Септември“ Гео Милев)

"Нека Беласица стара и новий Батак в миналото наше фърлят своя мрак..."(Иван Вазов „Опълченците на Шипка)

анафора – повторение в началото на два или повече последователни реда

Пример:

„нека ни отрича историята, века нека е трагично името ни..." (Ив. Вазов „Опълченците на Шипка“)

анжамбман – пренасяне на дума или част от изречение от предходен стих в следващия, при което се получава пауза, несъвпадаща с паузите, произлизащи от синтактичния строеж на изречението

"Немигнал, ставай: ей месец още насред небето, дълбока нощ е ..." („На нивата“ П.К.Яворов)

антитеза – противопоставяне на два противоположни предмета, образа, характеристики, мотиви и други

Пример:

„През деня неуморно изграждам през нощта без пощада руша“ (Димчо Дебелянов „Черна песен“)

апосиопеза – недоизказване на част от изречението или недовършване на мисълта под влияние на силни чувства, което се изразява с многоточие

Пример:

„Но... млъкни сърце!“ ( Христо Ботев „Хаджи Димитър“)

асонанс – наслагване на даден гласен звук или група гласни звукове

Пример:

„настане вечер – месец изгрее“ (Хр. Ботев „Хаджи Димитър“)

градация – натрупване в последователен ред на изразни средства с цел засилване (възходяща градация) или отслабване на чувството (низходяща градация)

Пример:

„една, че две, че три усилни и паметни години...“ (П.К Яворов „Градушка“)

„А тиранинът върлува (…) коли, беси, бие, псува“ (Хр. Ботев „В механата“)

гротеска – художествен похват, чрез който хора и предмети са изобразени в деформиран, карикатурен, преувеличено комичен вид

експозиция – компонент на сюжета: изобразяването на живота на персонажите в периода, който непосредствено предшества завръзката и разгръщането на конфликтите. Различава се от предисторията, в която се съобщават факти от биографията на персонажа и се разказва за миналото му. В експозицията обикновено се представя това, което пряко ще определи следхождащите събития и действия.

елипса – изпускане на дума или част от израз, подразбиращи се по логически път. Обикновено се означава с тире.

Пример:

„Народът – прост Живота – тежък, скучен“ (Н.Вапцаров „Завод“)

епиграф – кратък текст, поместен от автора пред цялото произведение или пред определена негова част. Често пъти чрез него се изразява основен мотив, идея или настроение, които се откриват в основното произведение.

епитет – художествено определение, служещо за допълнителна изразителност и изтъкване на важен, същностен белег.

Пример: мъртва тишина

епифора – повторение в края на стиховете

Пример:

„Вече листата трептят: Отминава! Вече птиците крещят: Отминава!“

етимологична фигура – обединяване в едно словосъчетание на две думи с един и същ корен

Пример:

Бог богува – нека си богува, цар царува – века ли царува?“ (П.К. Яворов „Хайдушки песни“)

инверсия – разместване на частите на изречението с цел определен стилистичен ефект.

Пример: „мъка черна“

ирония – стилистичен похват, при който нещата се изобразяват подигравателно, за да се подчертаят недостатъците на хора или недъзите на обществото чрез приписването на несъществуващи качества, които се подразбират като недостатъци. Тя се свързва с противоречието между това, което се казва, и очакванията или реалността. Ключът към нейното разбиране може да се търси в контекста или в интонацията.

композиция – строежът на произведението, обусловен от фабулата, сюжета, жанра и взаимовръзките между отделните компоненти

литота – преувеличено намаляване на известни признаци или предмети

метафора – тропа, чрез която черти на един предмет се пренасят върху друг въз основата на прилика, свързваща прякото и преносното значение на думите.

Пример:

„робска люлка“, „ръжда разяда глозгани кости“ (Хр.Ботев „Елегия“)

метонимия – заменяне на един предмет с друг поради вътрешна връзка между тях

Пример:

„Талазите идат; всички нащрек са! Последният напън вече е настал!“ (Ив.Вазов „Опълченците на Шипка“)

образен паралелизъм – художествен похват, при който се съпоставят два образа.

Пример:

„Черней, горо, черней, сестро, двама да чернеем - Ти за твойте листи, горо, аз за мойта младост.“ (Народна песен)

олицетворение – приписване на човешки черти на предмети, животни или на природни явления.

Пример:

„А танцуват запалени къщите от безспирния бяг на земята... (Н. Фурнаджиев „Пролетен вятър“)

парадокс – твърдение в противоречие на здравия смисъл; находчив израз като извод или заключение, изграден върху противоположни мисли.

Пример:

„Тоз, който падне в бой за свобода, той не умира...“ (Хр.Ботев „Хаджи Димитър“)

„България... нейният днешен ден е вчера и утре. („Експедиция към идния ден“ Блага Димитрова)

поанта – дума или израз, които обикновено служат за обобщение на смисъла в края на изказване или литературно произведение, с което се подчертава основната мисъл или идея.

Пример:

„и фърляше тайно през мрака тогаз най-първата искра в народната свяст!“ (Ив.Вазов „Паисий“)

ретардация – забавяне на развитието на действието или задържане на разказа. Реализира се чрез въвеждането на допълнителни компоненти: статични описания, лирически отстъпления, вмъкване на предистория, засягаща героя и т.н.

реторичен въпрос – реторичен похват на изразяване; въпрос, който не очаква отговор, а има за цел да привлече вниманието на читателя, да предизвика определен емоционален отклик.

Пример:

„Кой не знае Чавдар войвода? Кой не е чувал за него?“ (Хр.Ботев „Хайдути“)

реторично възклицание – реторична фигура с подчертано възклицателна интонация, изразяваща силно вълнение – възторг, отчаяние, дълбок размисъл или решение, учудване.

Пример:

„Тежко, тежко! Вино дайте!“ (Хр.Ботев „В механата“)

реторично обръщение – реторическа фигура във формата на обръщение, призив, прощаване, изразяващо силно емоционално вълнение.

Пример:

„Балкани, дигайте се в небесата! Обвийте се в бури и мъгли! Ний идем ви на гости със крилата на вашите орли!“ (К.Христов „Хор“)

ретроспекция – връщане назад към миналото на героя или към предишни събития, за да се обяснят конфликти, ситуации в творбата. Тя представлява сюжетно-композиционен похват, който променя потока на времето в сюжетното развитие.

символ – условен познавателен знак за членовете на обществото; предмет, образ или действие, които служат за за условен знак на някакво абстрактно понятие, за някаква идея (например белият цвят символизира невинност); вид художествена образност, при която абстрактната идея се изобразява условно чрез конкретен образ. В Древна Гърция като symbolon определяли двете части на един и същ предмет, които трябвало да се съединят. Оттук и символът се мисли като съединяващ, като плод на съответствията между двата елемента. Символът предполага множество от значения, които той символизира, и това е една от съществените му разлики с метафората и алегорията.

синекдоха – представяне на цял образ чрез негова част

Пример:

„бащино огнище“

синтактичен паралелизъм - Художествен похват, при който се съпоставят успоредно два синтактично еднакви израза, за да се постигне ритмичност и да се поставят акценти. Чрез синтактичния паралелизъм се градират мислите и образите, привлича се вниманието на читателя, разкрива се отношението на автора към поставения проблем.

Пример:

Живот ли бе - да го опишеш? Живот ли бе – да го разровиш? (Н.Вапцаров „История“)

хипербола – преувеличение, реторическа фигура, свързана с преувеличаване на явленията или на определени техни черти с цел постигане на определен стилистичен ефект

Пример:

„...цял век далече са от мен миражите на вчерашния ден.“ (П.Яворов „Душата ми е пуста“)

Алеко Константинов

1. Ранен живот

   а) рождение - Свищов, 1. януари 1863г.

   б) семейство - Иваница Хаджиконстантинов и фамилията Шишманови

   в) образование

   • Емануил Васкидович и Янко Мустаков
   • Свищовското училище и Априловската гимназия
   • Новоросийският университет в Одеса

2. Завръщане в България

   а) професионално развитие - заема различни длъжности по софийските съдилища

   • уволняван е два пъти по политически причини

   б) псевдонимът "Щастливеца"

   в) пътешествия

   • Всемирното изложение в Париж (1889г.)
   • Земското индустриално изложение в Прага (1891г.)
   • Колумбовото изложение в Чикаго (1893г.)

   г) научна дейност - защитава труд на тема „Правото за помилване по повод на новия наказателен закон“ (1896) с цел да стане преподавател по углавно и гражданско право в Софийския университет

   д) обществена и политическа дейност - член на Демократическата партия и много други организации

   • основател на първото българско туристическо дружество

   е) смърт - убит е при неуспешен атентат срещу съпартиеца му Михаил Такев на 11. май 1897г.

3. Творчество

   а) характеристика

   • възрожденски дух
   • основно изразно средство - хуморът
   • висши морални ценности

   б) поезия

   в) пътеписи - "До Чикаго и назад", "Какво? Швейцария ли?", " В Българска Швейцария"

   г) фейлетоните и книгата Бай Ганьо

   д) преводаческа дейност - превежда световно известни писатели като Пушкин, Лермонтов, Некрасов, Молиер

Бай Ганьо журналист

1. Жанр - фейлетон

   а) жанрови особености на фейлетона

   • съчетаване на художествени и публицистични елементи
   • хиперболизирано представяне на човешките недостатъци

2. Композиция

   а) в началото - приятелска атмосфера сред младите интелигенти

   • разказ в разказа - историята на Гедрос за вестника на Бай Ганьо

   б) поанта - "Европейци сме ний, ама все не сме дотам" (последното изречение)

   • смислово обобщение на цялата книга

3. Герои - Бай Ганьо, Гочоолу, Дочоолу, Данко Харсъзина, Гуньо Адвокатина, Гедро

4. Теми, идеи и мотиви - родното и чуждото

   а) контрасти

   • Алековата "Весела България" срещу Бай-Баньовата България

   б) теми

   • патриотизмът като средство за лично облагодетелстване - "Трябва и ние да клъвнем по нещо, току-тъй на сухо патриотизъм – бошлаф"
   • политическото хамелеонство
   • журналистиката като поле за изява на байганьовщината

   в) идеи

   • синдромът Бай Ганьо все пак може да бъде надмогнат

Димитър Талев

1. Биография

   а) рождение - Прилеп, 1898г.

2. Творчество

   а) основни теми

   • драматичната и превратна съдба на Македония и българските македонци

   б) характерни черти

   • ретроспективно вглеждане в емблематични събития и личности от епохата на Възраждането, допринесли за изграждането на националните самосъзние и самочувствие

Железният Светилник

1. История - завършен през септемврти 1946г., което съвпада с принудителното изпращане на Талев в трудовите лагери и затова е публикуван през 1952г.

2. Жанр и структура - роман

   а) структура - 4 композиционни дяла, всеки с епиграф, част от народна песен

   • "Хаджи Серафимовата внука"
   • "В тъмни времена"
   • "Народ се пробужда"
   • "Корени и гранки"

3. Теми, идеи и конфликти

   а) теми

   • за родното - представена чрез възрожденския модел за разбиране на родното, основан на езика, етноса и произхода; едновременно идеализиране и огрубяване на родното
   • за чуждото - чуждото е възприето като заплаха и се обуславя на етническо и религиозно ниво
   • за родоотстъпничеството - някои българи избират да се подчинят на поробителя и асимилаторите гърци, за да се причислят към групата на по-силните
   • за извоюването на независима църква
   • за изкуството

   б) проблеми

   • за самосъзнаването и обединението

4. Персонажна система

   а) крепители на родовата цялост и семейната чест - Стоян и Султана

   б) носители на промяната - Климент Бенков и Лазар Глаушев

   • духовни катализатори на промяната - рилският монах и Рафе Клинче

   в) потисници на народната общност

   • турците - беят, Али, каймаканинът
   • гърците - владишкият наместник
   • отридителите - Аврам Немтур

Елин Пелин

1. Биография

   а) рождение - през 1877г. в с. Байлово

   • рождено име - Димитър Иван Стоянов

   б) образование - мечтата му е да учи в Рисувателното училище в София, но не е приет

   в) кариера

   • учител
   • библиотекар
   • библиотекар в Университетската библиотека
   • уредник в литературния музей „Иван Вазов“
   • председател на Съюза на българските писатели
   • сътрудник в създаването на множество списания.

2. Творчество - "майстор на късия разказ" и "певец на селската неволя"

   а) жанрове

   • стихотворения
   • разкази
   • повести
   • създава и литература, предназначена за деца

   б) основни теми

   • за живота на селския човек, осъден непрекъснато да се труди, за да оцелява
   • въпреки нерадостната си участ човекът от село съхранява своето жизнелюбие
   • пейзажът в творбите му често разкрива идеи, кореспондира с чувствата на героите

"Андрешко"

1. История на творбата

   • публикувана за първи път в сп. „Просвета“ през 1903 г. със заглавие „Случка“
   • през следващата година попада в сборника „Разкази. Том 1.“ с настоящото си заглавие
   • името на героя се превръща в нарицателно за човек, който хитрува и не иска да изпълнява задълженията си към държавата

2. Жанр - къс разказ

3. Композиция

   а) завръзка - каруцарят узнава по каква работа е тръгнал съдия-изпълнителят към селото

   б) кулминация - Андрешко откарва съдия-изпълнителя в блатото

   в) развръзка - съдията остава сам в блатото

   г) похвати

   • пейзажът и диалогът между героите имат важна роля при изграждането на внушенията на творбата
   • чрез разговора между Андрешко и съдия-изпълнителя изпъква противопоставянето между държавните институции и селяните, стоящо в основата на творбата
   • пейзажните описания в началото внушават умъртвеност, монотонност и безизходност
   • сарказъм и ирония

4. Неща за зубкане - обществото и властта

   а) основен конфилкт - между селското съсловие и държавните институции (селото - града, бедност - богатство, изкуствения властови ред - природната същност на човека)

   • съдията мисли селяните обобщено и стереотипно като лукави и хитри хора, коварно криещи своите намерения зад простодушна и миловидна обвивка

   б) темата за властта

   • според съдията - средство, чрез което насилствено и принудително да бъдат изгладени човешките пороци и селяните да бъдат вкарани в правия път

   в) темата за бедността

   г) идеята за солидарността - съпричастността на Андрешко към неговия съселянин надделява върху държавния закон

   д) темата за човека като жертва на държавната власт

   е) символи

   • "руския камшик" - символ на държавната принуда и властовото насилие

   ж) темата за надлъгването

   з) темата за невъзможното общуване

   и) темата за класовата борба

   й) темата за правдата

5. Герои

   а) Андрешко

   • състрадателен и съпричастен към своите, но що се отнася до кръга на своите.
   • ироничен и саркасричен
   • неговата постъпка е благородна за едни, а за други – не
   • моралният победител в текста
   • възприема държавата само като алчно същество, посягащо към последния залък на бедняците

   б) съдия-изпълнителят

   • представителят на властта, неспособен да изпитва съпричастност
   • увит с вълчия си кожух, самият той неусетно приема ролята на вълка – образ на хищничеството, навлязъл от фолклора в социалната литература, където добива смисъла на класов знак – „вълк“ е заможният, тоест грабителят, лошият.
   • за него в света има само държава и данъкоплатци, които я мамят.
   • беговият език е бюрократичен, агресивен, изключващ друга гледна точка

   в) Станоя - той присъства задочно в разказа, но е поводът както за идването на съдията, така и за разгръщането на Андрешковата изобретателност

Иван Вазов

"Паисий"

"О, неразумни юроде! Поради что се срамиш да се наречиш Болгарин?...Или не са имали Болгаре царство и господарство? Ти, Болгарино, не прелщайся, знай свой род и язик..."

Сто и двайсет годин... Тъмнини дълбоки! Тамо вдън горите атонски високи, убежища скрити от лъжовний мир, место за молитва, за отдих и мир, де се чува само ревът беломорски или вечний шепот на шумите горски, ил на звона тежкий набожнийят звън, във скромна килийка, потънала в сън, един монах тъмен, непознат и бледен пред лампа жумеща пишеше наведен.

Що драскаше той там умислен, един? Житие ли ново, нов ли дамаскин, зафанат от дълго, прекъсван, оставян и пред кандилото сред нощ пак залавян? Поличби ли божи записваше там? Слова ли духовни измисляше сам за във чест на някой славен чудотворец, египтянин, елин или светогорец? Що се той мореше с тоя дълъг труд? Ил бе философ? Или беше луд? Или туй канон бе тежък и безумен, наложен на него от строгий игумен?

Най-после отдъхна и рече: "Конец! На житие ново аз турих венец." И той фърли поглед любовен, приветен към тоз труд довършен, подвиг многолетен, на волята рожба, на бденьето плод, погълнал безшумно полвина живот - житие велико! Заради което той забрави всичко, дори и небето! Нивга майка нежна първенеца свой тъй не е гледала, ни младий герой първите си лаври, ни поетът мрачен своят идеал нов, чуден светлозрачен! и кат някой древен библейски пророк ил на Патмос дивний пестинника строг, кога разкривал е въз гладката кожа тайните на мрака и волята божа, той фърли очи си разтреперан, бляд към хаоса тъмний, към звездния свят, към Бялото море, заспало дълбоко, и вдигна тез листи, и викна високо: "От днеска нататък българският род история има и става народ!"

Нека той познае от мойто писанье, че голям е той бил и пак ще да стане, че от славний Будин до светий Атон бил е припознаван нашият закон. Нека всякой брат наш да чете, да помни, че гърците са люде хитри, вероломни, че сме ги блъскали, и не един път - и затуй не можат нази търпят - и че сме имали царства и столици, и от нашта рода светци и патрици; че и ний сме дали нещо на светът и на вси Словене книга да четът; и кога му викат:"Българину!" бесно, той да се гордее с това име честно. Нека наш брат знае, че бог е велик и че той разбира българский язик, че е срам за всякой, който се отрича от своя си рода и при гърци тича и своето име и божия дар зафърля безумно като един твар. Горко вам, безумни, овци заблудени, със гръцка отрова, що сте напоени, дето се срамите от вашия брат и търсите пища в гръцкия разврат, и ругайте грешно бакини си кости, и нашите нрави, че те били прости! Та не вашто племе срам нанася вам, о, безумни люде, а вий сте му срам!

Четете да знайте, що в стари години по тез земи славни вършили деди ни, как със много кралства имали са бран и била велика българската държава; как свети Борис се покръстил в Преслава, как е цар Асен тук храмове градил и дарове пращал; кой бе Самуил, дето си изгуби душата във ада, покори Дурацо и влезе в Елада; четете и знайте кой бе цар Шишман и как нашто царство сториха го плян; кой би Иван Рилски, чийто свети мощи чудеса се славят до тоя ден йоще; как се Крум преславний с Никифора би и из черепа му руйно вино пи и как Симеон цар угрите прогони и от Византия приема поклони. А тоя беше учен, философ велик и не се срамеше от своя език и кога нямаше кого да надвива, той пишеше книги, за да си почива. Четете и знайте, що съм аз писал, от много сказанья и книги събрал, четете, о, братя, да ви се не смеят и вам чужденците да не се гордеят... На ви мойта книга, тя е вам завет, нека де преписва и множи безчет и пръска по всички поля и долини, де българин страда, въздиша и гине. Тя е откровенье, божа благодат - младий прави мъдър, а стария - млад, който я прочита няма да се кае, който знае нея, много ще да знае."

Тъй мълвеше тоз мъж, в килията скрит, със поглед умислен, в бъдещето впит, който много бденья, утринни пропусна, но пачето перо нивга не изпусна и против канонът и черковний звън - работи без отдих, почивка и сън.

Тъй мълвеше преди сто и двайсет годин тоз див Светогорец - за рая негоден, и фърляше тайно през мрака тогаз най-първата искра в народната свяст.

1. Композиция - композиционен център на лирическия цикъл "Епопея на забравените", което може да се смята като препратка към централната роля на самия Паисий в българската история

   а) жанр - ода

   б) епиграф - откъс от второто „Предисловие“ на Паисиевата „История славянобългарска“, в което монахът се обръща назидателно към отродилите се българи

   в) начална част - въвежда образа на атонския монах, погълнат от своето сакрално дело

   г) втора част - съдържа призивния монолог на будителя, насочен към неговите сънародници

   д) заключителна част - връща читателя в първоначалната лирическа ситуация, изграждайки композиционната рамка на произведението

2. Теми, идеи и мотиви - миналото и паметта

   а) контрасти

   • мрак <-> светлина - метафорично препращащ към противопоставянето между забравата и паметта, чрез който са изразени ключовите смислови послания в одата

   б) теми

   • отчуждаването от своя "род и язик"
   • загубата на народната идентичност
   • необходимостта от познание на собственото минало

   в) идеи

   • безпаметството и безпросветността - присъстват както през Възраждането, така и в следосвобожденските нагласи
   • познаването на миналото като средство за утвърждаване на народното самосъзнание и път към светлото бъдеще

   г) мотиви

   • отказът от каноничния път към Бога и личното спасение в името на родолюбивата мисия и събуждането на целия народ

   д) образи

   • мракът

"Новото гробище над Сливница"

Йордан Радичков

1. Биография

   а) раждане - през 1929 година в село Калиманица, Монтанско

   б) образование

   • завършва гимназия в Берковица

   в) кариера

   • редактор на вестници
   • заместник-председател на Съюза на българските писатели

   г) смърт - умира на 21. януари 2004г. в София

2. Творчество

"Ноев Ковчег"

1. Композиция

   а) жанр - фрагментарен роман

   • 13 части, условно наречени "глави"
   • липсва традиционен, класически сюжет с общи герои и събития

   б) особености

   • композиционна рамка - изгражда се от встъпителната („Космическият удавник“) и заключителната част („Небето прокапа“)
   • редуват се дълги и къси глави
   • редуват се части с последователно разказване и такива с накъсано разказване („разказ в разказа“)
   • редуват се разкази с автобиографични мотиви и разкази с митологична стилизация

2. Теми, образи и мотиви

   а) образът на Ноевия ковчег - символ на възможността да бъде пренесен споменът през времето и така да бъде съхранен този иначе „въшкав животец“ едновременно в „мизерията и във величествеността му“

   • палубата - на нея тече обичайният живот, символизиран от океана
   • трюмът - символ на човешкото съзнание, на паметта, съхраняващи близки и далечни спомени, парчета живот, но и парчета човешка мъдрост

   б) образът на "космическия удавник" - придава на изображението тайнственост и загадъчност, граничещи с измеренията на кошмарно видение, на халюцинация

   • сравнение с митологичния герой Икар - символ на неосъществената дръзка мечта, прекъснатия полет, трагичното крушение на надеждите и копнежите

   в) темата за самотата, страданието и отхвърлеността - неизбежни и универсални доминанти в съществуването на всяко едно създание

   • зададена чрез образите на прокуденото от своите „въшкарче“ („Въшкарчето“), мършавото куче със завързано дърво на шията („Сивият вълк, черното куче“), старият щъркел със счупено крило, прогонен от отлитащото на юг ято, а на следващата пролет - погубен от събратята си („Щърков сняг“)

   г) темата за насилието и жестокостта - също неизбежни

   • техен основен носител е човекът - у човека са заложени хищническият инстинкт, кръвожадността и примитивизма („Сивият вълк, черното куче“)

   д) темата за "трохите на живота" - изразена чрез крехкото и неусточивото, което Ноевият ковчег има за цел да запази

3. Герои

   а) Космическият удавник - трагично въплъщение на безнадеждността и страданието

   • чрез него се задава смисловата рамка на повествованието
   • паралел с митологичния герой Икар, чието любопитство го води към слънцето

   б) Бог и Дявол - Бог сътворява духовните неща, докато земният свят е дяволско творение

   • възкресено е древно еретическо вярване

   в) хлебарката - дяволско творение, превърнало се в символ на неизтребимия инстинкт за оцеляване

   • хлебарките са изразители на разпънатостта между живота (често безсмислен) и смъртта (най-често също безсмислена)

   г) въшкарчето, глиганът, щъркелът, лисицата, мишлетата - носят идеята за крехкостта на съществуването

   • чрез тяхната съдба се онагледява идеята, че смъртта е единственото сигурно нещо на този свят

   д) човекът - представен е като духовно и като природно същество

   • човекът е много повече природа, тоест дяволско изчадие, отколкото дух - божествено творение

   е) животът като мащеха и смъртта като благодетелка

   ж) разказвачът

   • око, което е способно да извади от анонимност и най-дребния детайл
   • душа, преживяваща различните житейски драми като свои
   • разум, осмислящ странните превращения на човешката съдба
   • памет, съхраняваща и пренасяща през времето натрупаната мъдрост на човечеството

Никола Вапцаров

1. Биография

   а) рождение - 1909г.

   • имена - Никола Йонков Вапцаров

   б) образование и кариера

   • учи в Морското машинно училище във Варна
   • работи във фабрика „Българска горска индустрия“ като огняр и като механик

   в) забележителности

   • арестуван е неколкократно както заради левите си убеждения, така и заради участието си в т.нар. „Соболева акция“

   г) смърт - разстреляне на 23. юли 1942 година

2. Творчество

"История"

Какво ще ни дадеш, историйо, от пожълтелите си страници? – Ний бяхме неизвестни хора от фабрики и канцеларии,

ний бяхме селяни, които миришеха на лук и вкиснало, и под мустаците увиснали живота псувахме сърдито.

Ще бъдеш ли поне признателна, че те нахранихме с събития и те напоихме богато с кръвта на хиляди убити.

Ще хванеш контурите само, а вътре, знам, ще бъде празно и няма никой да разказва за простата човешка драма.

Поетите ще са улисани във темпове и във агитки и нашта мъка ненаписана сама в пространството ще скита.

Живот ли бе – да го опишеш? Живот ли бе – да го разровиш? Разровиш ли го – ще мирише и ще горчи като отрова.

По синорите сме се раждали, на завет някъде до тръните, а майките лежали влажни и гризли сухите си бърни.

Като мухи сме мрели есен, жените вили по задушница, изкарвали плача на песен, но само бурена ги слушал.

Онез, които сме оставали, се потехме и под езика, работехме къде що хванем, работехме като добитък.

Мъдруваха бащите в къщи: "Така било е и ще бъде..." А ние плюехме намръщено на оглупялата им мъдрост.

Зарязвахме софрите троснато и търтвахме навън, където една надежда ни докосваше със нещо хубаво и светло.

О, как сме чакали напрегнато в задръстените кафенета! И късно през нощта си легахме с последните комюникета.

О, как се люшкахме в надеждите!... А тегнеше небето ниско, свистеше въздуха нажежен... Не мога повече! Не искам!...

Но в многотомните писания, под буквите и редовете ще вика нашето страдание и ще се зъби неприветно –

защото би ни безпощадно живота с тежките си лапи направо по устата гладни, затуй езика ни е грапав.

И стиховете, дето пишем, когато краднем от съня си, парфюмен аромат не дишат, а са навъсени и къси.

За мъката – не щем награди, не ще дотегнем и с клишета на томовете ти грамади, натрупани през вековете.

Но разкажи със думи прости на тях – на бъдещите хора, които ще поемат поста ни, че ние храбро сме се борили.

1. Композиция

   а) жанр - стихотворение

   б) стил - емоционално обръщение към историята, реализирано в 1. лице, мн.ч., чрез което лирическият говорител се идентифицира с пренебрегнатите социални маси

   в) антитеза - онагледява сблъсъка между две контрастни гледни точки към миналото

   • официалната история и на нейните „томове грамади“
   • „неизвестните хора“, маргинализирани от историята и изтласкани от разказа за миналото

2. Теми, идеи и мотиви - миналото и паметта

   • необективността на историята, която мълчи за страданията на обикновения човек
   • историята като средство за изкривяване и подменяне на миналото
   • обречеността и непреодолимата безнадеждност на съществуването
   • мъчителната агония на еднообразното всекидневие, снизяваща човека до животинското
   • разлома между поколенията - бунтът на синовете срещу конформисткото примирение на бащите с установената социална несправедливост
   • апел към историята да преодолее своята отчужденост от обикновените, потиснати и обезправени хора

1. Биография

   а) рождение - 9. септември 1941г. в София

   б) образование

   • българска филология - Софийския университет

   в) кариера

2. Творчество

   а) теми, идеи и мотиви

   • изобличаване на абсурдите в нашата социална действителност
   • темата за застоя в обществото
   • тематя за духовното обезличаване
   • идеята за презрението към нравствено извисената личност

   б) похвати

   • сатира

Балкански синдром

1. Композиция - две действия без обичайните за драматургията компонентни като завръзка, кулминация и развръзка

   а) жанр - комедия на нравите

2. Герои - типизиращото назоваване на някои от героите ​​насочва към идеята, че в центъра на изображението стои масовият човек от онова време с присъщите му стереотипни модели на мислене и поведение

   а) Директор

   • демагог, бюрократ и конформист
   • опитва се да режисира ситуацията в началото, като позволява или забранява едно или друго изказване или действие
   • в крайна сметка обаче е принуден да се съобразява с нарежданията, давани му от телефона

   б) Кумът, бай Цончо, Сватанакът

   • символи на "балканщината", простотията и кича
   • актуализации на траен народопсихологически тип, наименуван от Алеко Константинов Бай Ганьо

   в) Йовчо - предприемчив селянин, облагодетелстващ се от царящия навсякъде дефицит

   г) Печо - критикът на бездуховните, който намира оправдания, възпрепятстващи възможността да осъществи своето околсветско пътешествие

   д) Жената с проблеми и Жената символ - изразителки на разочарованието от несъвпадението между високите принципи и безрадостната действителност

   е) извънземното

   • разкрива абсурда на българския свят
   • чрез неговите действия другите могат да осъзнаят своето съществуване в застой

   ж) Цонка и Георги

   з) баба Кера

   и) анонимният глас от телефона - препратка към мистичните кукловоди, управляващи живота на цялото българско общество в сянка

3. Теми, идеи и мотиви - родното и чуждото

   • невъзможността на официалното изкуство да отрази действителните проблеми и терзания на хората
   • разминаването между кухата, официална реторика и житейската практика
   • сблъсъкът между масовия вкус на обществото и изтънчените разбирания за изкуство на „елита“
   • примитивното отношение към културата
   • властващата в обществото статика и невъзможността за изтръгване от застоя

За автора

1. Биография

   а) рождение

   • 6. януари 1848г.
   • гр. Калофер

   б) образование

   • Калофер
   • Карлово
   • Одеса

   в) смърт - 02. юни 1876г. на вр. Вола

2. Творчество

   а) единствена стихосбирка - "Песни и стихотворения от Ботйова и Съамболова" (1875г.)

   • в съавторство със Стефан Стамболов

   б) идеи и мотиви

   • просвещенски и романтически идеи
   • фолклорни образи

"Борба"

1. История на творбата - публикувана за първи път в Ботевия вестник „Дума на българските емигранти“ през 1871 г.

   • 1875 г. поетът добавя финалните 10 стиха

2. Жанр и композиция - астрофично стихотворение, съчетаващо елегични и сатирични елементи

   а) първа смислова част (1. до 9. стих) - лирическият Аз говори

   • за пропиляната си младост („в тъги, в неволи младост минува“)
   • за терзанията и яростта си („на душа лежат спомени тежки,/злобна ги памет често повтаря“), породени от невъзможността хората да бъдат изтръгнати от „мъртвешкия сън“ на робството и заблудата

   б) втора смислова част (10. до 22. стих)

   • обрисуване на преобърнатите в тогавашното общество ценности („свестните у нас считат за луди“)
   • изобличаване на социалната несправедливост, поддържана от образите на попа, учителя и журналиста („и на обществен тоя мъчител/и поп, и черква с вяра слугуват; нему се кланя дивак учител“)

   в) трета смислова част

   • посочване на причините за покорството и апатията
   • проциване на "свещената глупост", изречена от

3. Теми, идеи и мотиви

   а) идеи

   • за робството като духовна категория - поробен, индивидът губи основни човешки ценности (вяра, любов, надежда)
   • за "свещената глупост" („Бой се от бога, почитай царя“), изречена от Соломон, която заставя хората пасивно да понасят страданията и несправедливостите

   б) контрасти - текстът изобилства от оксиморони

   • мъдрост-глупост
   • истина-лъжа
   • човек-скот
   • разум-лъжлива вяра;
   • прогрес-сън

4. Герои

   а) лирическият Аз

   • следва просвещенските идеи
   • борец за социална справедливост
   • бунтува се срещу догмите и лъжите
   • критикува първоизточниците на робството- инертността на духа, битовата рутина, неосъзнатата уседналост и навика
   • пародира насърчаващото към покорство християнско смирение

   б) тираните

   • попът, учителят и вестникаринът съдействат на обществения мъчител
   • използват библейските постулати, за да заставят хората към покорство
   • част от тях са и интелигенция, която учи хората на наивно смирение

   в) жертвите

   • лирическият Аз изпитва съжаление към тях, но не оправдава тяхното бездействие - те също трябва да носят отговорност за своята ситуация
   • духовно незрели
   • слушат лъжите на властниците и им вярвар слепешки

"До моето първо либе"

1. История на творбата

   • публикувано за първи път на 22. юни 1871 г. във вестник „Дума на българските емигранти“

2. Композиция

   а) жанр - лирическо стихотворение, с елементи на елегия

   б) композиционен план - 9 строфи

   • от 1. до 3. строфа - лирическият говорител отхвърля някогашните любовни заблуди, разпознати като „отрова“ и като болезнен спомен от миналото
   • от 4. до 6. строфа - разгръща се картината на робското настояще чрез призива на лирическия аз към либето да се вслуша в народните стенания
   • от 7. до 9. строфа - представят се естетизираната смърт и желанието на героя да жертва себе си в името на своя идеал

   в) похвати

   • изповеден характер
   • много глаголи в повелително наклонение - "запей", "млъкни", "махни се", "забрави"

3. Теми, проблеми и конфликти

   а) темата за човешката активност

   б) темата за любовта и човешкото интимно споделяне

   в) мотивът за песента

   г) мотивът за погубената младост

   д) темата за живота и смъртта

Христо Смирненски

1. Биография

   а) рождение - 17. септември 1898г. в гр. Кукуш

   • рождено име - Христо Димитров Измирлиев

   б) образование

   • завършва в София
   • записва се във Военното училище през 1917г., но година по-късно го напуска

   в) кариера - работи от малък поради финансовите затруднения на семейството му

   • вестникар
   • продавач
   • редактор
   • репортер

   г) политическа дейност

   • член на Комунистическия младежки съюз (от 1920г.)
   • член на Комунистическата партия (от 1921г.)

   д) смърт - умира през 1923г. от туберкулоза в София

2. Творчество

   а) характеристики

   • постсимволизъм
   • поставя проблемите за социално неравенство, за преосмислянето на социалния ред, за утопичното бъдеще

   б) хронология

   • първа стихосбирка- „Разнокалибрени въздишки в стихове и проза“ (1918г.)
   • втора стихосбирка - ""

"Приказка за стълбата"

1. История на творбата

   • публикувана на 25. май 1923г. в сп. "Младеж"
   • последната творба на Смирненски

2. Жанр - разказ с белези на фейлетон

3. Композиция

   а) епиграф

   • адресиран към съвестта на читателите и насочващ към проблема за самопознанието и автоидентификацията

   б) особености

   • симетрична компизиция - краят отразява началото, но с преобърнат смисъл
   • диалог между Дявола и младежа

4. Герои

   а) момъкът (юноша)

   • дръзновен, готов да отмъсти за несправедливия обществен ред
   • тръгва от социалните низини с най-чисти идеали, но изкачвайки се по обществената стълбица, постепенно губи себе си

   б) Дяволът

   • не е християнската представа за абсолютно зло
   • изразител на тъмната, компромисната страна от личността на юношата
   • чрез него се изважда на показ човешката слабост на младежа
   • провокатор, катализатор на онова, което бездруго е заложено у момъка.

   в) патрициите

   • князете, пируващи във висините
   • пребивават в свят, потънал в разврат и фалш

5. Неща за зубкане

   а) контрасти

   • горе-долу - пространството "горе" е мястото на безметежното щастие на бездушните принцове и князе, а „долу“ – мястото на социалното угнетение и огорчение
   • мизерия-богатство
   • добро-зло

   б) теми

   • темата за идентичността
   • темата за обществото и властта
   • темата за сделката с Дявола - и най-доброто намерение, и най-високата мисия може да се загубят по пътя към върховете на властта, когато този път се подчинява на правилото „целта оправдава средствата“

   в) алегории

   • сделката с Дявола
   • загубата на човешките сетива - загубата на идентичността

1. Числова редица - функция $f(n)$, където $n=\{1,2,\cdots ,N\},N\in \mathbb{N}$ или $n\in \mathbb{N}$

   а) крайна числова редица - числова редица $f(n)$, където $n=\{1,2,\cdots ,N\},N\in \mathbb{N}$

   • означение: $\{a_n{\}}_{n=1}^N$

   б) безкрайна числова редица - числова редица $f(n)$, където $n\in \mathbb{N}$

   • означение: $\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$

2. Задаване на числова редица

   а) чрез изреждане - за крайни числови редици

   б) описателно - чрез думи

   в) аналитично

   • чрез формула за $n$-тия член

   $$a_n=n^3+2$$

   • чрез рекурентна връзка - зависимост от предишните членове

   $$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$$

3. Монотонност - свойството на членовете на дадена редица винаги или да намаляват или да нарастват

   а) монотонно растяща редица

   • нестрого: $\forall n\ge 2,a_n\ge a_{n-1}$
   • строго: $\forall n\ge 2,a_n>a_{n-1}$

   б) монотонно намаляваща редица

   • нестрого: $\forall n\ge 2,a_n\le a_{n-1}$
   • строго: $\forall n\ge 2,a_n<a_{n-1}$

4. Ограниченост

   а) ограниченост отгоре - числовата редица $\{a_n\}$ е ограничена отгоре, ако съществува число $\alpha$ такова, че $\forall n,a_n\le \alpha$

   • всяка ограничена отгоре редица има безброй много горни граници (всички числа $\ge \alpha$)

   б) ограниченост отдолу - числовата редица $\{a_n\}$ е ограничена отгоре, ако съществува число $\alpha$ такова, че $\forall n,a_n\ge \alpha$

   • всяка ограничена отдолу редица има безброй много долни граници (всички числа $\le \alpha$)

   в) ограниченост - числовата редица е ограничена, ако е ограничена отдолу и ограничена отгоре

1. Граница - числото $l$ се нарича граница на безкрайната числова редица $\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$, ако $\forall \epsilon >0$ съществува число $N$ такова, че $\forall n>N,|a_n-l|<\epsilon$

   а) означение

   $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=l$$ $$a_n\underset{n\to \infty }{\to }l$$

2. Сходяща редица - една числова редица е сходяща, ако има граница

   а) критерии за сходяща редица

   • всяка монотонно растяща редица, която е ограничена отгоре, има граница
   • всяка монотонно намаляваща редица, която е ограничена отдолу, има граница
   • ако разликата между които и да е два последователни члена на редицата клони към нула, то редицата е сходяща
   • лема за двамата полицай - ако ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }{b}_n=l$ и за редицата $\{c_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ е изпълнено, че $a_n\le c_n\le b_n\forall n$, то ${\lim }_{n\to \infty }{c}_n=l$

   $$\{\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=l\\ a_n\le c_n\le b_n,\forall n\end{array}⟹\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=l$$

   • ако $\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ е монотонно растяща, а $\{b_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ е монотонно намаляваща , и е изпълнено, че $a_n\le b_n,\forall n$, то двете редици са сходящи

   б) критерии за ограниченост

   • всяка сходяща редица е ограничена

3. Свойства на граници - за сходящите редици $\{a_n\}$ и $\{b_n\}$

   $$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n\pm b_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\pm \underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$$

   $$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n\cdot b_n)=\left(\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\right)\left(\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n\right)$$

   $$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n}{\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n},\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n\ne 0$$

   $$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n^k)={\left(\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\right)}^k$$

4. Редица, клоняща към безкрайност

   Безкрайността не се счита за граница.

   а) към плюс безкрайност - безкрайната редица $\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ клони към $+\infty$, ако $\forall A>0,\exists N(A)>0$ такова, че $\forall n>N,a_n>A$

   • запис

   $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=+\infty$$

   б) към минус безкрайност - безкрайната редица $\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ клони към $-\infty$, ако $\forall A<0,\exists N(A)>0$ такова, че $\forall n>N,a_n<A$

   • запис

   $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=-\infty$$

5. Неопреленост - форма на граница, която може да се получи при граничен преход

   $$\infty -\infty ,0\cdot \infty ,\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },0^0,1^{\infty },{\infty }^0$$

   В този случай не се знае дали редицата има граница и трябва да се търси друг начин за установяването на такава.

6. Неперово число

   $$e\stackrel{\text{def}}{=}\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=2.718\cdots$$

   а) следствия

   $$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{k}{n}\right)}^n=e^k$$

1. Геометрична прогресия - числова редица от следния вид

   $$a_n=q{a}_{n-1}$$

   а) частно на прогресията - числото $q\in \mathbb{R}$

   б) връзка с първия член

   $$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

2. Сбор на членовете на геометрична прогресия

   а) сбор на първите $n$ члена

   $$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$$

   б) сума на безкрайна геометрична прогресия - съществува само когато $|q|<1$

   $$S=\frac{a_1}{1-q}$$

1. Полином на една променлива - израз от следния вид

   $$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$$

   а) степен на полинома ($\mathrm{deg}(P)$) - най-високата степен на $x$, която има ненулев коефициент в полинома

   б) старши коефициент - коефициентът пред най-високата степен на $x$

   в) свободен член - коефициентът пред нулевата степен на $x$

   • равен е на стойността на полинома при $x=0$

2. Деление на полиноми - всеки полином $A(x)$ може да се представи еднозначно в следната форма

   $$A(x)=B(x)Q(x)+R(x)⟺\frac{A(x)}{B(x)}=Q(x)+\frac{R(x)}{B(x)}$$

   а) делимо - полиномът $A(x)$

   б) делител - полиномът $Q(x)$

   в) частно - полиномът $Q(x)$

   • $\mathrm{deg}(Q)=\mathrm{deg}(A)-\mathrm{deg}(B)$

   г) остатък - полиномът $R(x)$

   • $\mathrm{deg}(R)<\mathrm{deg}(B)$

3. Корен (нула) на полином - числото $x_0$ се нарича корен (нула) на полинома $A(x)$, когато $A(x_0)=0$

   а) брой корени - всеки полином от степен $n$ има най-много $n$ различни корена

   Теорема:

   Числото $p$ е корен на полинома $A(x)$ тогава и само тогава, когато $A(x)$ се дели на $(x-p)$.

   Доказателство: Ако $A(x)$ се дели на $x-p$, то $A(x)=(x-p)Q(x)$ и при $x=p$ се получава $A(p)=(p-p)Q(p)=0$. Ако $x-p$ е нула на $A(x)$, то $A(x)=(x-p)Q(x)+R$ се превръща във $A(p)=(p-p)Q(p)+R=0$ при $x=p$ и следователно остатъкът $R$ трябва да е нула.

   б) кратност на корена - числото $p$ е $k$-кратен корен на полинома $A(x)$, ако $A(x)=(x-p{)}^{k}Q(x)$ и $Q(p)\ne 0$

4. Тъждественост на полиноми - ако два полинома на една променлива от степен $\le n$ имат еднакви стойности за $n+1$ различни стойности на променливата, то те са тъждествено равни

1. Схема на Хорнер - метод за бързо делене на произволен полином на полином от вида $(x-p)$

   Нека $A(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ и $B(x)=x-p$. Тогава полиномът $A$ може да представи по следния начин, където $R$ е константа, защото степента му е по-малка от степента на делителя $B(x)$:

   $$A(x)=(x-p)Q(x)+R$$

   Коефициентите $q_1,q_2,...,q_{n-1}$ на $Q(x)$ и остатъкът $R$ се намират като се извършат действията в следната таблица

   	$a_n$	$a_{n-1}$	$\cdots$	$a_1$	$a_0$
   $p$	$q_{n-1}=a_n$	$q_{n-2}=p{q}_{n-1}+a_{n-1}$	$\cdots$	$q_0=p{q}_1+a_1$	$R=p{q}_0+a_0$

2. Теорема на Безу - остатъкът $R$ при делението на полинома $A(x)$ с $B(x)=x-p$ е равен на стойността на полинома $A(x)$ за $x=p$, т.е. $R=A(p)$.

   а) доказателство

   $$A(p)=(p-p)Q(p)+R=R$$

3. Преобразуване на полиноми

   а) от нормален вид във вид на степени на $x-p$

   $$\begin{array}{rl}A(x)& =a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0\\ & =a_n^{\prime }(x-p{)}^n+a_{n-1}^{\prime }(x-p{)}^{n-1}+\cdots +a_1^{\prime }(x-p)+a_0^{\prime }\end{array}$$

   • търсят се коефициентите $a_n^{\prime },a_{n-1}^{\prime },\cdots ,a_1^{\prime },a_0^{\prime }$
   • изваждаме $(x-p)$ пред скоби

   $$A(x)=(x-p)[a_n^{\prime }(x-p{)}^{n-1}+a_{n-1}^{\prime }(x-p{)}^{n-2}+\cdots +a_1^{\prime }]+a_0^{\prime }$$

   • следователно $a_0^{\prime }$ е остатъкът при делението на $A(x)$ на $(x-p)$
   • по същия начин, чрез повторено изваждане на $(x-p)$ пред скоби се намират и останалите коефициенти - общо $n+1$ деления
   • това може да се направи бързо чрез схемата на Хорнер

   б) от вид на степени на $(x-p)$ във нормален вид

   $$\begin{array}{rl}A(x-p)& =a_n^{\prime }(x-p{)}^n+a_{n-1}^{\prime }(x-p{)}^{n-1}+\cdots +a_1^{\prime }(x-p)+a_0^{\prime }\\ & =a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0\end{array}$$

   • търсят се коефициентите $a_n,a_{n-1},\cdots ,a_0$
   • полагаме $t=x-p⟹x=t+p$
   • следователно \begin{align}A(x-p) = A(t) &= a_n(t+p)^n + a_{n-1}(t+p)^{n-1} + \cdots + a_1(t+p) + a_0 \&= a_n't^n + a_{n-1}'t^{n-1} + \cdots + a_1't + a_0'\end{align}
   • задачата се свежда до представянето на полинома $A(t)$ по степени на $t+p$

1. Намиране на рационални корени на полиноми - ако полиномът $A(x)$ има рационални корени, т.е. корени от вида $\frac{p}{q}$ (където $\gcd (p;q)=1$), то числителят $p$ е делител на свободния член $a_0$, а знаменателят $q$ е делител на старшия коефициент $a_n$

   Доказателство:

   $$A\left(\frac{p}{q}\right)=a_n{\left(\frac{p}{q}\right)}^n+a_{n-1}{\left(\frac{p}{q}\right)}^{n-1}+\cdots +a_1\left(\frac{p}{q}\right)+a_0=0$$

   Умножаваме двете страни по $q^n$.

   $$a_n{p}^n+a_{n-1}{p}^{n-1}q+\cdots a_{1}p{q}^{n-1}+a_0{q}^n=0$$

   Събираемите с коефициенти $a_n$ до $a_1$ очевидно се делят на $p$. Тъй като $0$ се дели на $p$, то последното събираемо $a_0{q}^n$ също трябва да се дели на $p$. Тъй като $p$ и $q$ са взаимно прости, $p$ трябва да е делител на $a_0$. Аналогично за $q$ и събираемите с коефициенти $a_{n-1}$ до $a_0$ включително

   а) отсяване на кандидати за корени - ако несъкратимата дроб $\frac{p}{q}(p,q\in \mathbb{Z})$ е корен на полинома $A(x)$, то за всяко число $m\in \mathbb{Z}$ е вярно, че $(p-mq)|A(m)$

   • ако дадено число $\frac{p}{q}$ не спазва това свойство, то не може да бъде корен на полинома $A(x)$

2. Решаване на реципрочни уравнения от четна степен (РУЧС) - полином с цели коефициенти от следния вид, където $p$ е някакво цяло число

   $$A(x)=a_n{x}^{2n}+a_{n-1}{x}^{2n-1}+\cdots +a_1{x}^{n+1}+a_0{x}^n+a_{1}p{x}^{n-1}+a_2{p}^2{x}^{n-2}+\cdots +a_{n-1}{p}^{n-1}x+a^n{p}^n=0$$

   а) разпознаване на РУЧС

   • разликата в индексите на първите $n+1$ коефициента и степента на $x$ е винаги равна на $n$
   • първо се намира средния член в полинома
   • коефициентите вдясно от средния член се разлагат на множители и се гледа дали съдържат последователни степени на даден общ множител $p$
   • гледа се дали произдведението на останалите множители на всеки коефициент вдясно (т.е. без степените на $p$) съвпадат с коефициента на огледалния член спрямо средния член

   б) корени на РУЧС

   • числото 0 никога не е корен на дадено РУЧС
   • ако $x_0$ е корен на дадено РУЧС, то $\frac{p}{x_0}$ също е корен на въпросното РУЧС

   в) решаване на РУЧС

   • членовете с огледални коефициенти се групират

   $$a_n(x^{2n}+p^n)+a_{n-1}(x^{2n-1}+p^{n-1}x)+\cdots +a_1(x^{n+1}+p{x}^{n-1})+a_0{x}^n=0$$

   • разделя се на $x^n$

   $$a_n\left(x^n+\frac{p^n}{x^n}\right)+a_{n-1}\left(x^{n-1}+\frac{p^{n-1}}{x^{n-1}}\right)+\cdots +a_1\left(x+\frac{p}{x}\right)+a_0=0$$

   • полага се $y=\left(x+\frac{p}{x}\right)$
   • останалите скоби се изразяват като се вдига $y$ на съответната степен

   г) симетрично РУЧС: $p=1$

   • коефициентите отляво и отдясно на средния член съвпата напълно с огледалните си

3. Решаване на реципрочни уравнения от нечетна степен (РУНС) - полином с цели коефициенти от следния вид, където $p$ е някакво цяло число

   $$A(x)=a_n{x}^{2n+1}+a_{n-1}{x}^{2n}+\cdots +a_1{x}^{n+2}+a_0{x}^{n+1}+a_{0}p{x}^n+a_1{p}^3{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}{p}^{2n-1}x+a_n{p}^{2n+1}$$

   а) разпознаване на РУНС

   • коефициентите във втората половина от полинома отговарят огледално на коефициентите от първата половина, но умножение по последователни нечетни степени на $p$

   б) корени на РУНС

   • числото 0 никога не е корен на дадено РУНС
   • числото $-p$ винаги е корен на дадено РУНС

   в) решаване на РУНС - свеждане до РУЧС

   • уравнението се разлага в следния вид, защото $-p$ винаги е корен $$A(x)=(x+p)Q(x)=0$$
   • полиномът $Q(x)$ е гарантиран да бъде РУЧС от степен $2n$ и вече се използва метода за решаване на РУЧС

   г) симетрично РУНС: $p=1$

   • коефициентите в лявата половината и в дясната половина на полинома съвпадат напълно огледално

4. Уравнения от вида

   $$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=A{x}^2,ab=cd$$

   а) решаване - чрез полагане на $y=x+\frac{ab}{x}$

1. Нютонов бином - нормалният вид на многочлена $(x+y{)}^n$

   $$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{x}^{n-k}{y}^k=C_n^0{x}^n+C_n^1{x}^{n-1}y+\cdots +C_n^{n-1}x{y}^{n-1}+C_n^n{y}^n$$

   а) свойства

   • броят на едночлените в Нютоновия бином е $n+1$
   • ако $n$ е четно ($n=2k$), то най-големият коефициент е средният ($C_n^k$)
   • ако $n$ е нечетно ($n=2k+1$), то двата средни коефициента са най-големи ($C_n^k=C_n^{k+1}$)
   • сборът на всички коефициенти е $2^n$
   • сборът от четните коефициенти е равен на сбора от нечетните коефициенти ($C_n^0+C_n^2+\cdots =C_n^1+C_n^3+\cdots$

1. Пермутация - начин на подреждане на $n$ елемента, които се смятат за различни един от друг

   а) брой пермутации ($P_n$)

   $$P_n=n!$$

2. Вариация от $n$ елемента $k$-ти клас - всяко подмножество от $k$ елемента на множество от $n$ елемента, като се отчита редът на задаване на елементите в подмножеството

   а) брой вариации ($V_n^k$)

   $$V_n^k=\frac{P_n}{P_{n-k}}=\frac{n!}{(n-k)!}$$

3. Комбинация от $n$ елемента $k$-ти клас - всяко подмножество от $k$ елемента на множество от $n$ елемента, като не се отчита редът на задаване на елементите в подмножеството

   а) брой комбинации ($C_n^k,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$)

   $$C_n^k=\frac{P_n}{P_k\cdot P_{n-k}}=\frac{V_n^k}{P_k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

   б) свойства

   • $C_n^k=C_n^{n-k}$
   • $C_n^0=C_n^n=1$
   • $C_n^1=C_n^{n-1}=n$
   • $C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$
   • $C_n^{k+1}=\frac{n-k}{k+1}{C}_n^k$

1. Елементарно събитие - всеки отделен възможен изход от един опит се нарича елементарно събитие

2. Достоверно (сигурно) събитие - събитие, което винаги се случва

3. Невъзможно събитие - събитие, което никога не се случва

4. Пълна система от елементарни събития - множеството от всички възможни елементарни събития на един опит

   а) случайно събитие - подмножество на пълната система от елементарни събития

   б) сложно събитие - случайно събитие с повече от един елемента

5. Вероятност на случайно събитие - мярка, оценяваща възможността за реализиране на случайно събитие

1. Елипса - геометрично място от точки, за които сборът от разстоянията от всяка такава точка до две предварително избрани точки $F_1,F_2$ е константа

   

   $$E\in \epsilon ⟹|E{F}_1|+|E{F}_2|=2|O{A}_1|=2|O{A}_2|$$

   а) фокуси на елипсата - точките $F_1,F_2$

   б) център на елипсата - средата $O$ на отсечката $F_1{F}_2$

   в) ос на елипсата - всяка отсечка, която свързва две точки от елипсата

   • голяма ос ($A_1{A}_2$) - най-дългата ос в елипсата, която свързва двете най-отдалечени една от друга точки ($A_1$ и $A_2$)
   • малка ос ($B_1{B}_2$) - най-късата ос в елипсата, която вързва двете най-близки една до друга точки ($B_1$ и $B_2$)

   Центърът и двата фокуса на елипсата винаги лежат на нейната голяма ос.

   Голямата и малката оси на елипсата са взаимноперпендикулярни и се разполовяват в нейния център.

2. Канонично уравнение на елипса с център началото на кординатната система

   

   $$\epsilon :\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

   а) координати на фокусите: $(\pm \sqrt{|a^2-b^2|};0)$

   б) взаимно положение с права $p:\alpha x+\beta y+\gamma =0$

   • нямат пресечни точки: $a^2{\alpha }^2+b^2{\beta }^2-{\gamma }^2<0$
   • допират се в една точка: $a^2{\alpha }^2+b^2{\beta }^2-{\gamma }^2=0$
   • пресичат се в две точки: $a^2{\alpha }^2+b^2{\beta }^2-{\gamma }^2>0$

   в) допирателна към елипса

   • през точка $P(x_P,y_P)\in \epsilon$

   $$p:\frac{x_P}{a^2}x+\frac{y_P}{b^2}y=1$$

1. Окръжност ($k(O;r)$) - всички точки в една равнина, които са на определено разстояние $r$ от дадена точка $O$

   а) радиус - отсечка с краища точка $O$ и произволна точка от самата окръжност

   б) хорда - отсечка с краища две точки от окръжността

   • дъга - една от двете части, на които дадена хорда разделя окръжността

   Две дъги от една окръжност са равни тогава и само тогава, когато съответните им хорди са равни.

   Две хорди в една окръжност са равни тогава и само тогава, когато са на равни разстояния от центъря на окръжността.

   Дъгите от една окръжност, заградени между две успоредни хорди, са равни.

   в) диаметър - хорда, минаваща през центъра на окръжността

   Диаметър на окръжността е перпендикулярен на недиаметрална хорда тогава и само тогава, когато я разполовява.

2. Вписан ъгъл - ъгъл, чийто връх е точка от окръжността, а рамената му пресичат окръжността

   

   Всеки вписан ъгъл е половината от съответния си централен ъгъл.

   $$\phi =\frac{\psi }{2}$$

   

   Вписан ъгъл, чиито рамена минават през краищата на диаметър, е прав.

3. Периферен ъгъл - ъгъл, чийто връх е точка от окръжността, едното му рамо е допирателна, а другото я пресича

   

   Всеки периферен ъгъл е половината от съответния си централен ъгъл.

   $$\phi =\frac{\psi }{2}$$

Аналитична геометрия на окръжност

1. Канонично уравнение на окръжност

   $$k:(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$$

   а) център: точката $O(a;b)$

   б) радиус: $r$

2. Обобщен вид на уравнението на окръжност

   $$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$

   а) решения - не всяко уравнение от този вид отговаря на окръжност

   • няма решения - нито една точка от равнината
   • едно решение - окръжността е сведена до единствена точка
   • безброй решения - уравнението отговаря на единствена окръжност

   б) преобразуване в каноничен вид - възможно само ако уравнението има безброй решения

   $$x^2+y^2+Ax+By+C=0⟹(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2,\{\begin{array}{l}a=\frac{A}{-2}\\ b=\frac{B}{-2}\\ r^2=a^2+b^2-C\end{array}$$

3. Допирателна към окръжност $k:(x-x_C{)}^2+(y-y_C{)}^2=r^2$ през точка $P(x_P;y_P)$ от окръжността

   $$(x-x_C)(x_P-x_C)+(y-y_C)(y_P-y_C)=r^2$$

4. Допирателна $p:ax+by+c=0$ към окръжност $k:(x-x_C{)}^2+(y-y_C{)}^2=R^2$ през точка $P(x_P;y_P)$, която е извън окръжността

   $$\{\begin{array}{l}a{x}_P+b{y}_P+c=0\\ (a{x}_C+b{y}_C+c{)}^2=R^2(a^2+b^2)\end{array}$$

   Доказателство

   $$ax+by+c=0$$

   $$P\in p⟹a{x}_P+b{y}_P+c=0$$

   $$p\perp k⟹d(p;k)=R⟹\frac{|a{x}_C+b{y}_C+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=R$$ $$⟹\{\begin{array}{l}a{x}_P+b{y}_P+c=0\\ (a{x}_C+b{y}_C+c{)}^2=R^2(a^2+b^2)\end{array}$$

1. Парабола - геометрично място от точки, за които разстоянието до предварително определена точка $F$ е равно на разстоянието до предварително определена права $d$

   

   а) фокус на параболата - точката $F$

   б) директриса на параболата - правата $d$

   • директрисата винаги е успоредна на допирателната през върха на чараболата

   в) връх на параболата - точката $V$

   • най-близката до директрисата и фокуса точка

   г) ос на симетрия - правата $VF$

2. Уравнение на парабола с фокус $F(x_F,y_F)$ и директриса $d:ax+by+c=0$

   $$\frac{(ax+by+c{)}^2}{a^2+b^2}=(x-x_F{)}^2+(y-y_F{)}^2$$

   

3. Канонично уравнение на парабола -

   $$y^2=2px$$

   а) фокус на параболата: $F\left(\frac{p}{2};0\right)$

   б) директриса на параболата: $d:x=-\frac{p}{2}$

   в) взаимно положение с правата $t:\alpha x+\beta y+\gamma =0$

   • нямат пресечни точки: $p{\beta }^2-2\alpha \gamma <0$
   • допират се в единствена точка: $p{\beta }^2-2\alpha \gamma =0$
   • пресичат се в две точки: $p{\beta }^2-2\alpha \gamma >0$

   г) допирателна към параболата

   • през точка $T(x_T;y_T)$

   $$t:y_{T}y=2p(x+x_T)$$

1. Хипербола - геометрично място от точки в равнината, за които абсолютната стойност на разликата от разстоянията до две предварително определени точки е постоянна

   $$|P{F}_1-P{F}_2|=\text{const}=2a$$

   

   а) фокуси на хиперболата - точките $F_1$ и $F_2$

   б) център на хиперболата - точката $O$, която е среда на $F_1{F}_2$

   в) върхове на хиперболата - точките $V_1$ и $V_2$

2. Канонично уравнение на хипербола с център началото на кординатната система

   $$\chi :\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

   а) координати на фокусите: $(\pm \sqrt{a^2+b^2};0)$

   б) координати на върховете: $(\pm a;0)$

   в) взаимно положение на хипербола и права $p:\alpha x+\beta y+\gamma =0$

   • пресичат се в две точки: $a^2{\alpha }^2-b^2{\beta }^2-{\gamma }^2>0$
   • допират се в една точка: $a^2{\alpha }^2-b^2{\beta }^2-{\gamma }^2=0$
   • няма пресечни точки: $a^2{\alpha }^2-b^2{\beta }^2-{\gamma }^2<0$

   г) допирателна към хиперболата

   • през точка $P(x_P,y_P)\in \chi$

   $$\frac{x_P}{a^2}x-\frac{y_P}{b^2}y=1$$

   • през точка $P(x_P,y_P)\notin \chi$

1. Вътрешна ъглополовяща - права, която разделя ъгъл на триъгълника на два равни ъгъла

   а) свойства

   • трите ъглополовящи в триъгълника се пресичат в центъра на вписаната в триъгълника окръжност
   • всяка точка от ъглополовящата се намира на равни разстояния от раменете на ъгъла
   • ъглополовящата разделя срещуположната страна на две отсечки, чието отношение е равно на отношението на прилежащите към тях страни на триъгълника

   

   б) дължина - корен от произведението на прилежащите страни минус произведението на парчетата, на които разделя срещуположната страна

   

1. Теорема на Варинион - ако $ABCD$ е произволен четириъгълник и точките $M,N,P,Q$ са среди на страните му, то четириъгълникът $MNPQ$ е успоредник

   

   а) следствие - лицето на четириъгълника $ABCD$ е два пъти лицето на Варинионовия му успоредник

   $$S_{ABCD}=2S_{MNPQ}$$

2. Теорема на Ойлер - ако $ABCD$ е произволен четириъгълник и точките $K,L$ са среди на диагоналите му, то е вярно, че

   $$A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2+A{D}^2=A{C}^2+B{D}^2+4K{L}^2$$

   

3. Вписан четириъгълник - четириъгълник, около който може да се опише окръжност

   Четириъгълник е вписан тогава и само тогава, когато сборът на два от срещуположните му ъгли е 180°.

   

   Четириъгълник е вписан тогава и само тогава, когато някоя от страните му се вижда под един и същ ъгъл от другите два върха на четириъгълника.

   

   а) теорема на Птолемей - произведението на диагоналите във вписан четириъгълник е равно на сбора от произведенията на срещуположните му страни

   $$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD$$

   

   б) лице - теорема на Брахмагупта

   $$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$

4. Описан четириъгълник - четириъгълник, в който може да се опише окръжност, която се допира до четирите му страни

   Четириъгълник е описан тогава и само тогава, когато три от ъглополовящите му се пресичат в една точка.

   Четириъгълник е описан тогава и само тогава, когато сборът на две негови срещуположни страни е равен на сбора на другите му две страни.

   

   а) лице на описан четириъгълник

   $$S=pr$$

   • радиус на вписаната окръжност: $r$
   • полупериметър на четириъгълника: $p$

5. Ограден четириъгълник - четириъгълник, който е и вписан, и описан

   а) лице

   $$S=\sqrt{abcd}$$

1. Трапец - четириъгълник, на който поне една двойка срещуположни страни са успоредни

   

   а) средна основа - успоредна на основите на трапеца

   

   $$MN=\frac{AB+CD}{2}$$

   $$PQ=\frac{AB-CD}{2}$$

   б) лице

   $$S=\frac{(AB+CD)\cdot h}{2}$$

2. Равнобедрен трапец - трапец с равни бедра

   

   а) ъгли

   • равни ъгли при основите

   Трапец е равнобедрен тогава и само тогава, когато има равни ъгли при основите.

   б) диагонали

   • равни помежду си
   • сключват равни ъгли с основите на трапеца

   Трапец е равнобедрен тогава и само тогава, когато има равни диагонали.

   Трапец е равнобедрен тогава и само тогава, когато диагоналите му сключват равни ъгли с основите.

   в) вписаност - трапец е вписан в окръжност тогава и само тогава, когато е равнобедрен

1. Успоредник - четириъгълник, на който две по две срещуположните страни са успоредни и равни помежду си

   

   а) периметър

   $$P=2(AB+BC)$$

   б) лице

   $$S=AB\cdot h_{AB}=BC\cdot h_{BC}$$ $$S=AB\cdot AD\sin \measuredangle DAB=AB\cdot BC\measuredangle ABC$$

   в) диагонали

   • взаимно се разполовяват

   

   Всеки четириъгълник с взаимноразполовяващи се диагонали е успоредник.

   • следствие от теоремата на Ойлер: $$A{C}^2+B{D}^2=2(A{B}^2+B{C}^2)$$

2. Вписан успоредник - около успоредник може да се опише окръжност тогава и само тогава, когато е правоъгълник

3. Описан успоредник - в успоредник може да се впише окръжност тогава и само тогава, когато е ромб

4. Ромб - успоредник с четири равни страни

   

   Всеки четириъгълник с четири равни страни е ромб.

   а) диагонали

   • ъглополовящи на ъглите на ромба
   • взаимноперпендикулярни

   Всеки успоредник с взаимноперпендикулярни диагонали е ромб.

   б) лице

   $$S=\frac{AC\cdot BD}{2}$$

   в) описаност - във всеки ромб може да се впише окръжност

1. Насочена отсечка - отсечка с определено начало и край

   а) равенство - две насочени отсечки са равни, когато имат еднаква дължина и посока

   б) взаимно положение

   • колинеарност - насочени отсечки са колинеарни, когато лежат на една права или на успоредни прави
   • компланарност - насочени отсечки са компланарни, когато лежат в една равнина

   Всяка двойка насочени отсечки са компланарни спрямо една друга.

   • еднопосочност - две насочени отсечки са еднопосочни, когато сочат в една и съща посока (сириозно???)
   • противопосочност - две насочени отсечки са противопосочни, когато сочат в две противополжни посоки (наистина ли така си мислити?)
   • разнопосочност - всичко останало

2. Вектор - множеството от всички равни помежду си насочени отсечки

   а) събиране - началото на единия се слага до края на другия

   б) изваждане - към първия се добавя противоположното на другия

   в) произведение със скалар ($k\in \mathbb{R}$)

   • когато $k>0$ - дължината на вектора се променя $k$ пъти, а посоката му се запазва същата
   • когато $k=0$ - векторът се превръща в нулевия вектор
   • когато $k<0$ - дължината на вектора се променя $|k|$ пъти, а посоката му се обръща на 180 градуса

   г) взаимно положение

   • колинеарност - вектори са колинеарни, когато представителите им лежат на успоредни прави
   • компланарност - вектори са компланарни, когато представителите им лежат в една равнина

   Всяка двойка вектори са компланарни.

   • линейна зависимост - множество от вектори са линейно зависими, когато всеки един може да се представи като линейна комбинация от останалите

   Два вектора $\vec{a},\vec{b}$ са линейно зависими тогава и само тогава, когато съществувават числа $p,q\ne 0$ такива, че $p\vec{a}+q\vec{b}=\vec{0}$

   • линейна независимост - множество от вектори са линейно зависими, когато нито един от тях не може да се представи като линейна комбинация от останалите

   Два вектора $\vec{a},\vec{b}$ са линейно независими тогава и само тогава, когато единственото решение на равенството $p\vec{a}+q\vec{b}=\vec{0}$ е $p=q=0$.

3. Векторна база - множество от $n$ линейно независими вектора, чрез които може да се изрази всеки друг вектор в $n$-измерното пространство

   а) върху права - всеки ненулев вектор сам по себе си образува векторна база в едно измерение

   б) в равнината - всеки два неколинеарни (и ненулеви) вектора образуват векторна база в две измерения

   г) в пространството - всеки три некомпланарни вектора образуват векторна база в три измерения

4. Скаларно произведение

   $$\vec{a}\cdot \vec{b}\stackrel{\text{def}}{=}\{\begin{array}{l}0,\vec{a}=\vec{0}\vee \vec{b}=\vec{0}\\ |\vec{a}||\vec{b}|\cos \angle (\vec{a};\vec{b})\end{array}$$

   а) свойства

   • два вектора са еднопосочни тогава и само тогава, когато $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|$
   • два вектора са противопосочни тогава и само тогава, когато $\vec{a}\cdot \vec{b}=-|\vec{a}||\vec{b}|$
   • два вектора са перпендикулярни тогава и само тогава, когато $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$

   б) тъждество на Ойлер - за всеки четири произволни точки $A,B,C,D$ е изпълнено, че

   $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=0$$

В равнината

1. Уравнение на права

   а) общо уравнение

   $$ax+by+c=0$$

   • нормален вектор ($\vec{n}$) - единичен вектор, перпендикулярен на правата
   • всяка права има два единични вектора, които са противопосочни един на друг

   \vec{n} = \begin{bmatrix} \pm \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \ \pm \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{bmatrix}

   б) Декартово уравнение

   $$y=kx+m$$

   • наклон на правата ($k$) - тангенсът на ъгъла между правата и положителния лъч на абсцисната ос
   • височина на правата ($m$) - ординатата на пресечната точка с ординатната ос
   • връзка с общото уравнение

   $$ax+by+c=0⟹by=-ax-c⟹y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b},b\ne 0⟹\{\begin{array}{l}k=-\frac{a}{b}m=-\frac{c}{b}\end{array}$$

   в) през две точки - $A(x_1,y_1)$ и $B(x_2,y_2)$

   $$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$$

2. Взаимно положение на две прави

   а) с общи уравнения

   $$\{\begin{array}{l}p:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ q:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0\end{array}$$

   • $p\equiv q⟺\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\ne 0$
   • $p\parallel q⟺\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$
   • $p\cap q⟺\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}⟺a_1{b}_2\ne a_2{b}_1$
   • $p\perp q⟺a_1{a}_2+b_1{b}_2=0$

   б) с Декартови уравнения

   $$\{\begin{array}{l}p:y=k_{1}x+m_1\\ q:y=k_{2}x+m_2\end{array}$$

   • $p\equiv q⟺k_1=k_2,m_1=m_2$
   • $p\parallel q⟺k_1=k_2,m_1\ne m_2$
   • $p\cap q⟺k_1\ne k_2$
   • $p\perp q⟺k_1=-\frac{1}{k_2}$

3. Разстояние от точка $P(x_p,y_p)$ до права $p:ax+by+c=0$ $$d(P;p)=\frac{|a{x}_p+b{y}_p+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

4. Ъгъл между две прави - по-малкият ъгъл

   а) с общи уравнения

   $$\{\begin{array}{l}p:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ q:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0\end{array}⟹\cos \angle (p;q)=\frac{|a_1{a}_2+b_1{b}_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$$

   б) с Декартови уравнения

   $$\{\begin{array}{l}p:y=k_{1}x+m_1\\ q:y=k_{2}x+m_2\end{array}⟹\cos \angle (p;q)=\frac{|k_1{k}_2+1|}{\sqrt{k_1^2+1}\sqrt{k_2^2+1}}⟹\tan \angle (p;q)=\left|\frac{k_1-k_2}{k_1{k}_2+1}\right|$$