School

Хипербола - геометрично място от точки в равнината, за които абсолютната стойност на разликата от разстоянията до две предварително определени точки е постоянна

$$|P{F}_1-P{F}_2|=\text{const}=2a$$

а) фокуси на хиперболата - точките $F_1$ и $F_2$

б) център на хиперболата - точката $O$, която е среда на $F_1{F}_2$

в) върхове на хиперболата - точките $V_1$ и $V_2$

Канонично уравнение на хипербола с център началото на кординатната система

$$\chi :\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

а) координати на фокусите: $(\pm \sqrt{a^2+b^2};0)$

б) координати на върховете: $(\pm a;0)$

в) взаимно положение на хипербола и права $p:\alpha x+\beta y+\gamma =0$

• пресичат се в две точки: $a^2{\alpha }^2-b^2{\beta }^2-{\gamma }^2>0$
• допират се в една точка: $a^2{\alpha }^2-b^2{\beta }^2-{\gamma }^2=0$
• няма пресечни точки: $a^2{\alpha }^2-b^2{\beta }^2-{\gamma }^2<0$

г) допирателна към хиперболата

• през точка $P(x_P,y_P)\in \chi$

$$\frac{x_P}{a^2}x-\frac{y_P}{b^2}y=1$$

• през точка $P(x_P,y_P)\notin \chi$