Елипса - School

Елипса - геометрично място от точки, за които сборът от разстоянията от всяка такава точка до две предварително избрани точки $F_{1}, F_{2}$ е константа

$E \in ε ⟹ ∣ E F_{1} ∣ + ∣ E F_{2} ∣ = 2∣ O A_{1} ∣ = 2∣ O A_{2} ∣$

а) фокуси на елипсата - точките $F_{1}, F_{2}$

б) център на елипсата - средата $O$ на отсечката $F_{1} F_{2}$

в) ос на елипсата - всяка отсечка, която свързва две точки от елипсата
- голяма ос ( $A_{1} A_{2}$ ) - най-дългата ос в елипсата, която свързва двете най-отдалечени една от друга точки ( $A_{1}$ и $A_{2}$ )
- малка ос ( $B_{1} B_{2}$ ) - най-късата ос в елипсата, която вързва двете най-близки една до друга точки ( $B_{1}$ и $B_{2}$ )
Центърът и двата фокуса на елипсата винаги лежат на нейната голяма ос.

Голямата и малката оси на елипсата са взаимноперпендикулярни и се разполовяват в нейния център.
Канонично уравнение на елипса с център началото на кординатната система

$ε : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$

а) координати на фокусите: $(\pm ∣ a^{2} - b^{2} ∣; 0)$

б) взаимно положение с права $p : αx + β y + γ = 0$
- нямат пресечни точки: $a^{2} α^{2} + b^{2} β^{2} - γ^{2} < 0$
- допират се в една точка: $a^{2} α^{2} + b^{2} β^{2} - γ^{2} = 0$
- пресичат се в две точки: $a^{2} α^{2} + b^{2} β^{2} - γ^{2} > 0$
в) допирателна към елипса
- през точка $P (x_{P}, y_{P}) \in ε$
$p : \frac{x _{P}}{a ^{2}} x + \frac{y _{P}}{b ^{2}} y = 1$