School

Насочена отсечка - отсечка с определено начало и край

а) равенство - две насочени отсечки са равни, когато имат еднаква дължина и посока

б) взаимно положение

• колинеарност - насочени отсечки са колинеарни, когато лежат на една права или на успоредни прави
• компланарност - насочени отсечки са компланарни, когато лежат в една равнина

Всяка двойка насочени отсечки са компланарни спрямо една друга.

• еднопосочност - две насочени отсечки са еднопосочни, когато сочат в една и съща посока (сириозно???)
• противопосочност - две насочени отсечки са противопосочни, когато сочат в две противополжни посоки (наистина ли така си мислити?)
• разнопосочност - всичко останало

Вектор - множеството от всички равни помежду си насочени отсечки

а) събиране - началото на единия се слага до края на другия

б) изваждане - към първия се добавя противоположното на другия

в) произведение със скалар ($k\in \mathbb{R}$)

• когато $k>0$ - дължината на вектора се променя $k$ пъти, а посоката му се запазва същата
• когато $k=0$ - векторът се превръща в нулевия вектор
• когато $k<0$ - дължината на вектора се променя $|k|$ пъти, а посоката му се обръща на 180 градуса

г) взаимно положение

• колинеарност - вектори са колинеарни, когато представителите им лежат на успоредни прави
• компланарност - вектори са компланарни, когато представителите им лежат в една равнина

Всяка двойка вектори са компланарни.

• линейна зависимост - множество от вектори са линейно зависими, когато всеки един може да се представи като линейна комбинация от останалите

Два вектора $\vec{a},\vec{b}$ са линейно зависими тогава и само тогава, когато съществувават числа $p,q\ne 0$ такива, че $p\vec{a}+q\vec{b}=\vec{0}$

• линейна независимост - множество от вектори са линейно зависими, когато нито един от тях не може да се представи като линейна комбинация от останалите

Два вектора $\vec{a},\vec{b}$ са линейно независими тогава и само тогава, когато единственото решение на равенството $p\vec{a}+q\vec{b}=\vec{0}$ е $p=q=0$.

Векторна база - множество от $n$ линейно независими вектора, чрез които може да се изрази всеки друг вектор в $n$-измерното пространство

а) върху права - всеки ненулев вектор сам по себе си образува векторна база в едно измерение

б) в равнината - всеки два неколинеарни (и ненулеви) вектора образуват векторна база в две измерения

г) в пространството - всеки три некомпланарни вектора образуват векторна база в три измерения

Скаларно произведение

$$\vec{a}\cdot \vec{b}\stackrel{\text{def}}{=}\{\begin{array}{l}0,\vec{a}=\vec{0}\vee \vec{b}=\vec{0}\\ |\vec{a}||\vec{b}|\cos \angle (\vec{a};\vec{b})\end{array}$$

а) свойства

• два вектора са еднопосочни тогава и само тогава, когато $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|$
• два вектора са противопосочни тогава и само тогава, когато $\vec{a}\cdot \vec{b}=-|\vec{a}||\vec{b}|$
• два вектора са перпендикулярни тогава и само тогава, когато $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$

б) тъждество на Ойлер - за всеки четири произволни точки $A,B,C,D$ е изпълнено, че

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=0$$