1. Окръжност ($k(O;r)$) - всички точки в една равнина, които са на определено разстояние $r$ от дадена точка $O$

   а) радиус - отсечка с краища точка $O$ и произволна точка от самата окръжност

   б) хорда - отсечка с краища две точки от окръжността

   • дъга - една от двете части, на които дадена хорда разделя окръжността

   Две дъги от една окръжност са равни тогава и само тогава, когато съответните им хорди са равни.

   Две хорди в една окръжност са равни тогава и само тогава, когато са на равни разстояния от центъря на окръжността.

   Дъгите от една окръжност, заградени между две успоредни хорди, са равни.

   в) диаметър - хорда, минаваща през центъра на окръжността

   Диаметър на окръжността е перпендикулярен на недиаметрална хорда тогава и само тогава, когато я разполовява.

2. Вписан ъгъл - ъгъл, чийто връх е точка от окръжността, а рамената му пресичат окръжността

   

   Всеки вписан ъгъл е половината от съответния си централен ъгъл.

   $$\phi =\frac{\psi }{2}$$

   

   Вписан ъгъл, чиито рамена минават през краищата на диаметър, е прав.

3. Периферен ъгъл - ъгъл, чийто връх е точка от окръжността, едното му рамо е допирателна, а другото я пресича

   

   Всеки периферен ъгъл е половината от съответния си централен ъгъл.

   $$\phi =\frac{\psi }{2}$$

Аналитична геометрия на окръжност

1. Канонично уравнение на окръжност

   $$k:(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$$

   а) център: точката $O(a;b)$

   б) радиус: $r$

2. Обобщен вид на уравнението на окръжност

   $$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$

   а) решения - не всяко уравнение от този вид отговаря на окръжност

   • няма решения - нито една точка от равнината
   • едно решение - окръжността е сведена до единствена точка
   • безброй решения - уравнението отговаря на единствена окръжност

   б) преобразуване в каноничен вид - възможно само ако уравнението има безброй решения

   $$x^2+y^2+Ax+By+C=0⟹(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2,\{\begin{array}{l}a=\frac{A}{-2}\\ b=\frac{B}{-2}\\ r^2=a^2+b^2-C\end{array}$$

3. Допирателна към окръжност $k:(x-x_C{)}^2+(y-y_C{)}^2=r^2$ през точка $P(x_P;y_P)$ от окръжността

   $$(x-x_C)(x_P-x_C)+(y-y_C)(y_P-y_C)=r^2$$

4. Допирателна $p:ax+by+c=0$ към окръжност $k:(x-x_C{)}^2+(y-y_C{)}^2=R^2$ през точка $P(x_P;y_P)$, която е извън окръжността

   $$\{\begin{array}{l}a{x}_P+b{y}_P+c=0\\ (a{x}_C+b{y}_C+c{)}^2=R^2(a^2+b^2)\end{array}$$

   Доказателство

   $$ax+by+c=0$$

   $$P\in p⟹a{x}_P+b{y}_P+c=0$$

   $$p\perp k⟹d(p;k)=R⟹\frac{|a{x}_C+b{y}_C+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=R$$ $$⟹\{\begin{array}{l}a{x}_P+b{y}_P+c=0\\ (a{x}_C+b{y}_C+c{)}^2=R^2(a^2+b^2)\end{array}$$