В равнината

1. Уравнение на права

   а) общо уравнение

   $$ax+by+c=0$$

   • нормален вектор ($\vec{n}$) - единичен вектор, перпендикулярен на правата
   • всяка права има два единични вектора, които са противопосочни един на друг

   \vec{n} = \begin{bmatrix} \pm \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \ \pm \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{bmatrix}

   б) Декартово уравнение

   $$y=kx+m$$

   • наклон на правата ($k$) - тангенсът на ъгъла между правата и положителния лъч на абсцисната ос
   • височина на правата ($m$) - ординатата на пресечната точка с ординатната ос
   • връзка с общото уравнение

   $$ax+by+c=0⟹by=-ax-c⟹y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b},b\ne 0⟹\{\begin{array}{l}k=-\frac{a}{b}m=-\frac{c}{b}\end{array}$$

   в) през две точки - $A(x_1,y_1)$ и $B(x_2,y_2)$

   $$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$$

2. Взаимно положение на две прави

   а) с общи уравнения

   $$\{\begin{array}{l}p:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ q:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0\end{array}$$

   • $p\equiv q⟺\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\ne 0$
   • $p\parallel q⟺\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$
   • $p\cap q⟺\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}⟺a_1{b}_2\ne a_2{b}_1$
   • $p\perp q⟺a_1{a}_2+b_1{b}_2=0$

   б) с Декартови уравнения

   $$\{\begin{array}{l}p:y=k_{1}x+m_1\\ q:y=k_{2}x+m_2\end{array}$$

   • $p\equiv q⟺k_1=k_2,m_1=m_2$
   • $p\parallel q⟺k_1=k_2,m_1\ne m_2$
   • $p\cap q⟺k_1\ne k_2$
   • $p\perp q⟺k_1=-\frac{1}{k_2}$

3. Разстояние от точка $P(x_p,y_p)$ до права $p:ax+by+c=0$ $$d(P;p)=\frac{|a{x}_p+b{y}_p+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

4. Ъгъл между две прави - по-малкият ъгъл

   а) с общи уравнения

   $$\{\begin{array}{l}p:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ q:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0\end{array}⟹\cos \angle (p;q)=\frac{|a_1{a}_2+b_1{b}_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$$

   б) с Декартови уравнения

   $$\{\begin{array}{l}p:y=k_{1}x+m_1\\ q:y=k_{2}x+m_2\end{array}⟹\cos \angle (p;q)=\frac{|k_1{k}_2+1|}{\sqrt{k_1^2+1}\sqrt{k_2^2+1}}⟹\tan \angle (p;q)=\left|\frac{k_1-k_2}{k_1{k}_2+1}\right|$$